Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo

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DATA DE PUBLICAÇÃO

2007

RESUMO

O comportamento complexo de uma ampla variedade de fenômenos que são de interesse de matemáticos, físicos, químicos e engenheiros é caracterizado quantitativamente por meio de idéias de distribuições de fractais e multifractais, que correspondem de modo único à forma geométrica e a propriedades dinâmicas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espaço dos Fractais e os métodos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas e de Escala, para calcular a Dimensão Fractal de um Conjunto. Estudamos também fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples. O objeto central de nossas análises é um objeto multifractal que chamamos de Qmf . Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geométrica. Identificamos algumas diferenças entre percolação nos multifractais que propusemos e percolação em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferenças. A primeira está relacionada com o número de coordenação, c, que muda ao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada célula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p. Dependendo de um parâmetro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupação no limiar de percolação, pc, para o multifractal, em suporte d = 2, é menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimensão fractal do aglomerado percolante e o expoente crítico β. A despeito das diferenças topológicas, encontramos que a percolação em um suporte multifractal está na mesma classe de universalidade da percolação padrão. A área e o número de vizinhos dos blocos de Qmf apresentam um comportamento não-trivial. Uma visão geral do objeto Qmf mostra uma anisotropia. O valor de pc é uma função de ρ que está relacionada com esta anisotropia. Analisamos a relação entre pc e o número médio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Qmf. Nesta tese estudamos também a distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. Na terminologia da indústria do petróleo, ao ponto inicial dado associamos um poço de injeção (injetor) e aos outros pontos associamos poços de produção (produtores). No caso padrão apresentado anteriormente de um poço de injeção e um poço de produção, separados por uma distância euclidiana r, a distribuição de caminhos mínimos l, P(l|r), apresenta um comportamento de lei-de-potência com expoente gl = 2, 14 em 2D. Analisamos a situação de um injetor e uma matriz A de produtores. Configurações simétricas de produtores levam a uma distribuição, P(l|A), com um único pico, que é a probabilidade que o caminho mínimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configurações assimétricas levam a vários picos na distribuição P(l|A). Analisamos situações em que o injetor está fora e situações em que o injetor está no interior do conjunto de poços produtores. O pico em P(l|A) nas configurações assimétricas decai mais rápido do que no caso padrão. Para os caminhos muito longos todas as configurações estudadas exibiram um comportamento de lei-de-potência com o expoente g ≃ gl.

ASSUNTO(S)

percolação petróleo fractais caminhos mínimos multifractais fisica

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