Existência de atrator para um sistema de equações de evolução

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DATA DE PUBLICAÇÃO

2006

RESUMO

Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte problema de Cauchy iut + uxx − uv + i∞u = f(x) , x 2 R, t >0 (1) vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x) , x 2 R, t >0 (2) associadas ás condições iniciais u(x, 0) = u0(x) , v(x, 0) = v0(x) , x 2 Є R. (3) A técnica usada no trabalho consiste em três etapas: 1. Mostrar a existência, unicidade e dependência contínua dos dados iniciais e associar (4)-(6) uma família de operadores {S(t) : t ≥ 0} satisfazendo as propriedades de semigrupo da seguinte forma: Para todo t ≥ 0 S(t) H → H u0 →! S(t)u0 := u(t) Є H, onde ξ 0 = (u0, v0) é o dado inicial e (u(t), v(t)) Є H é a solução de (4)-(6)1 2. Existência de um conjunto limitado absorvente em h via estimativas a priori, isto é, um conjunto limitado B(esta contido) H que atrai as órbitas(2) numa razão exponencial. _________________________ 1No nosso caso iremos tomar H = H1(R) × L2(R). 2Definimos a órbita ou trajetórias passando por ξ 0 como sendo γ (ξ 0) = U [t≥0S(t) ξ 0 = {(u(t), v(t)) : t≥ 0}. 3. Por fim, existência de um atrator global A(para todo) H para o sistema (4)- (6), isto e, A é um conjunto compacto de H, invariante por S(t) (ou seja S(t)A = A , para todo t ≥0) e atrai todas as órbitas do sistema quando t → ∞ Para obtermos êxito, organizamos o trabalho como segue: No capítulo 2, obtemos estimativas a priori e conjuntos limitados absorventes. No capítulo 3, mostramos a existência, unicidade e dependência contínua dos dados iniciais. No capítulo 4, decompomos o semigrupo da solução em duas partes, uma uniformemente limitado em H2(R) × H1(R) e outra decaindo exponencialmente em H1(R) × L2(R). No capítulo 5, mostramos a compacidade assintotica do operador solução e finalmente no capítulo 6, provamos o resultado principal: Teorema 0.1 Assuma que f Є L2(R), g Є H1(R). Então o operador solução S(t) de (4)-(5) e um sistema dinâmico contínuo em X1 = H1× L2(R) e possui um atrator global A satisfazendo (a) A e compacto em X1 = H1 × L2(R), (b) S(t)A = A , 8 t ≥ 0, (c) para todo B(esta contido) X1 limitado, Lim distx1 (S(t) B, A) = 0

ASSUNTO(S)

sistemas de equações analise analise matematica atrator cauchy

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