Aplicação de um método adaptativo temporal de funções de base radial à solução da equação de Black-Scholes

Gisele Tessari Santos

Muitos problemas de engenharia financeira envolvem equações não-lineares com condições de contorno não-lineares ou dependentes do tempo. Apesar de soluções analíticas disponíveis, várias formas clássicas e modificadas da conhecida equação de Black-Scholes (BS) requerem soluções numéricas rápidas e acuradas. Este trabalho introduz o método de função de base radial (FBR) aplicado à solução da equação BS com condições de contorno não- lineares relacionadas a opções de barreira dependentes da trajetória. Explora-se, também, o método difusional para solucionar equações advectivo-difusivas quanto à sua efetividade para solucionar equações BS. Utilizam-se e comparam-se, em todo o trabalho, a efetividade de funções de base radial Cúbica e Thin-Plate Spline (TPS), quando aplicadas à solução de problemas de opções de barreiras. Os resultados numéricos, quando comparados com as soluções analíticas, permitem afirmar que o método FBR é muito preciso e fácil de programar. Ao se aplicar o método FBR, o método difusional leva aos mesmos resultados que aqueles obtidos pelo uso da formulação clássica da equação de Black-Scholes. Adicionalmente, implementa-se um esquema adaptativo no tempo tendo por base algoritmos preditivos e corretivos disponíveis, associados ao método adaptativo no tempo para equações diferenciais ordinárias de Bixler (1989). Os métodos adaptativos no tempo mostraram-se eficientes quer em termos de rapidez (número de iterações necessárias para atingir o tempo final requerido de simulação) quanto em termos de acurácia ou exatidão. Na realidade, o uso de adaptatividade associada aos erros de truncamento numérico da ordem de 10-7, no caso de opções de compra, e de 10-5 e 10-4 para opções de barreira levou a excelentes resultados. O trabalho mostra uma série de curvas que refletem a dependência do erro numérico relativo de predição em função do método de integração, passo inicial de tempo, tamanho das malhas de preços de ativos, erro de truncamento especificado e valor máximo dos ativos que permite simular condições de contorno equivalente a S = . No caso de opções de compra, o método baseado na FBR Cúbica adaptativa mostrou-se mais eficiente que o baseado na FBR TPS adaptativa; enquanto no caso de opções de barreiras, ambos os métodos levaram a, essencialmente, resultados equivalentes. A técnica adaptativa no tempo aplicada à solução da equação de Black-Scholes permite economias consideráveis de tempo de execução; de fato, o número de iterações temporais requerido para atingir o tempo final de simulação desejado, sob uma dada acurácia, pode ser 500 vezes menor que quando não se usa adaptatividade; a economia depende do tipo do problema.

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