Algoritmos eficientes em métodos sem malha

Alexandre Ramos Fonseca

Diferentemente dos métodos baseados em malhas, os métodos sem malha são caracterizados pelo uso de um conjunto de nós espalhados pelo dominio do problema, ao invés de uma malha ou grade. Neste trabalho é discutido o MLPG (Meshless Local Petrov Galerkin method) para a resolução de problemas eletromagnéticos. O objetivo aqui é além de entender o método, buscar formas de aumentar sua eficiência a fim de torná-lo competitivo com métodos tradicionais como o método de elementos finitos. Como não existe uma malha para dar conectividade aos nós, um desafio para o método é determinar com eficiência quais nós pertencem à vizinhança de um determinado nó. Para resolver esse problema é usada uma árvore de busca denominada kd-tree. Outra dificuldade dos métodos sem malha está na imposição das condições de contorno de Dirichlet quando as funções de forma não apresentam a propriedade do delta de Kronecker, o que é o caso para funções de forma construídas a partir do método de mínimos quadrados móveis (MLS). O MLS é um método eficiente, bastante conhecido na literatura e um dos mais utilizados em métodos sem malha, mas necessita de técnicas especiais para impor as condições de contorno de Dirichlet, como o método de penalidades ou multiplicadores de Lagrange. Além do MLS, investigamos funções de forma baseadas no método de interpolação de pontos (PIM) utilizando funções de base radial (RPIM) e associadas com termos polinomiais (RPIMp). O RPIMp possui a propriedade do delta de Kronecker, sendo uma alternativa ao MLS, dispensando técnicas especiais para impor as condições de contorno. Entretanto, o RPIMp apresenta um custo computacional maior que o MLS quando um número maior de nós é utilizado. Neste trabalho propomos um método misto que combina o RPIMp para nós da fronteira e o MLS para o interior do dominio. Dessa forma, geramos um método que associa os melhores atributos das duas funções de forma: a imposição direta das condições de contorno e rápido processamento. Resultados obtidos mostram que o método misto possui boa precisão e custo computacional intermediário aos das funções de forma utilizadas. Para tornar o método misto ainda mais atrativo, estudamos uma função de forma mais simples para o interior do dominio. As funções de Shepard (caso particular do MLS com consistência C0) são funções de forma extremamente simples, de fácil implementação e custo computacional muito baixo. Nesse caso, mesmo construindo as funções de forma com poucos nós vizinhos, o método misto sempre possui custo computacional inferior quando se compara a utilização de apenas funções RPIMp. Durante as implementações do MLPG percebeu-se que as contribuições dos nós para o sistema matricial global são independentes. Cada nó contribui com uma linha do sistema, não interferindo na contribuição dos demais nós. Aproveitando a chegada ao mercado de processadores com múltiplos núcleos e aproveitando essa característica do método, é proposta uma forma de paralelizar o processo de montagem do sistema linear que é a fase do método de maior custo computacional. Resultados indicam um ganho de desempenho nessa parte do processamento de até 3, 78 vezes para processadores com quatro núcleos.

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