Uma representação construtiva global para sistemas ordenados de segunda ordem em espaços coerentes intervalares bi-estruturados, com aplicação em matemática intervalar / A global constructive representation of second order ordered systems using bi-structured interval coherence spaces, with an application in interval mathematics

Dimuro, Gracaliz Pereira

Este trabalho consiste no desenvolvimento de uma metodologia para a obtenção de representações construtivas de sistemas ordenados de 2ª ordem, baseadas em estruturas de espaços coerentes, com aplicação fundamental na Computação Científica e Matemática Intervalar. Obtêm assim uma representação global para os objetos ditos infinitos relativamente ao conteúdo de informação, como números reais e intervalos reais, de tal forma que possam ser definidos modelos semânticos adequados para os processos computacionais envolvendo tais objetos. Esta representação construtiva é denominada de global, pois é realizada em dois níveis distinguíveis, compreendendo não somente a construção interna dos objetos, no contexto de uma da estrutura de informação, mas também sua estrutura externa de aplicação. A estrutura de informação tem caráter compatível com uma abordagem domínio-teorética, e a estrutura de aplicação e determinada pelo use pretendido do sistema representado. Existe um relacionamento entre os dois níveis de construção, garantindo que cada componente da estrutura de aplicação tenha uma representação interna na estrutura de informação. Os sistemas de representação global resultantes são denominados então espaços coerentes bi-estruturados, e tem a característica adicional de serem gerados por um sistema ordenado basico de universo enumerável. A estrutura de informação é um espaço coerente, com funções lineares e uma estrutura topológica de informação compatível. A estrutura de aplicação - algébrica, de ordem, relacional, funcional, de medidas, topológica, dentre outras - é obtida por um processo construtivo a partir da estrutura do sistema basico. Um espaço coerente bi-estruturado, obtido por esse processo de construção, é a representação global de um dado sistema ordenado de 2ª ordem quando possível recuperar este sistema através do subsistema dos objetos totais do espaço, pela determinação de isomorfismos para a estrutura de aplicação. Da mesma forma, estabelecendo também isomorfismos para o subsistema dos intervalos de elementos do conjunto universo do sistema que esta sendo representado, esse subsistema pode ser recuperado como o subsistema dos objetos quasi-totais do espaço coerente. Apresenta-se também uma abordagem categórica para o processo de construção global, mostrando se que ele determina uma adjunção entre duas subcategorias da categoria SO2 dos sistemas ordenados de 2ª ordem A metodologia proposta se mostrou particularmente interessante na construção do conjunto dos números reais e do conjunto de intervalos reais. Para estes sistemas introduziu-se também uma subestrutura elementar de medidas, pela definição, de forma generalizada, das funções valor absoluto, distância e diâmetro. Foi desenvolvida uma estrutura topológica para os espaços coerentes bi-estruturados, que caracteriza-se também por apresentar dois níveis que se inter-relacionam. Para obter uma caracterização topológica de informação desenvolveu-se a noção de espaços de vizinhanças lineares. No sentido de se obter a caracterização topológica de aplicação, obteve-se, em cada etapa da construção, um espaço de vizinhanças gerado pela função distância generalizada com uma topologia de aplicação associada. Conexões entre as representações de reais e de intervalos de reais e aspectos de computabilidade são referidas de modo preliminar, sugerindo-se este tema como trabalho futuro. Possíveis aplicações dos espaços coerentes bi-estruturados e do processo de construção global a outras áreas da Ciência da Computação são indicadas no final do trabalho.

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