The classifying Lie algebroid of a geometric structure / O algebroide classificante de uma estrutura geometrica
AUTOR(ES)
Ivan Struchiner
DATA DE PUBLICAÇÃO
2009
RESUMO
O objetivo desta tese é mostrar como utilizar algebróides de Lie e grupóides de Lie para compreender aspectos das teorias de invariantes, simetrias e espaços de moduli de estruturas geométricas de tipo finito. De uma forma geral, podemos descrever tais estruturas como sendo objetos, definidos em uma variedade, que podem ser caracterizados por correferenciais (possivelmente em outra variedade). Exemplos incluem G-estruturas de tipo finito e geometrias de Cartan. Para uma classe de estruturas geométricas de tipo finito cujo espaço de moduli (dos germes) de seus elementos tem dimensão finita, construímos um algebróide de Lie A X, chamado de algebróide de Lie classificante, que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Para cada ponto na base X corresponde um germe de uma estrutura geométrica pertencente à classe. 2. Dois destes germes são isomorfos se e somente se eles correspondem ao mesmo ponto de X. 3. A álgebra de Lie de isotropia de A num ponto x é a álgebra de Lie das simetrias infinitesimais da estrutura geométrica correspondente. 4. Se dois germes de estruturas geométricas pertencem à mesma estrutura geométrica global numa variedade conexa, então eles correspondem a pontos na mesma órbita de A em X. Além do mais, quando o algebróide de Lie classificante é integrável, o seu grupóide de Lie pode ser utilizado para construir modelos explícitos das geometrias na classe sendo descrita. Estes modelos são universais, ou seja, qualquer outra estrutura geométrica da classe é localmente isomorfa a um destes modelos, e globalmente equivalentes, a menos de recobrimento, a um subconjunto aberto de um desses modelos. No caso em que a estrutura geométrica é uma G-estrutura de tipo finito, damos uma descrição detalhada dessa correspondência. Uma das conseqüências da nossa construção é que o algebróide de Lie classificante pode ser usado para obter invariantes das estruturas geométricas correspondentes. Para ilustrar, apresentamos dois exemplos de invariantes que são induzidos pela cohomologia do algebróide de Lie. Para demonstrar os resultados mencionados acima, definimos as noções de forma de Maurer-Cartan em grupóides de Lie e de equação de Maurer-Cartan para um formas diferenciais com valores num algebróide de Lie. A seguir, provamos que a forma de Maurer-Cartan em um grupóide de Lie satisfaz uma propriedade universal análoga à propriedade satisfeita pela forma de Maurer-Cartan em um grupo de Lie. Para concluir esta tese, descrevemos diversos exemplos relacionados as conexões sem torção em G-estruturas. Nossa classe principal de exemplos são as conexões simpléticas especiais para as quais incluímos uma discussão detalhada
ASSUNTO(S)
simetrias de differential geometry geometria diferencial algebroide de lie lie symmetries lie algebroid lie
