Elementary tools for classic and complex hyperbolic geometries / Ferramentas elementares para geometrias classicas e hiperbolica complexa

AUTOR(ES)
DATA DE PUBLICAÇÃO

2006

RESUMO

Esta tese possui quatro partes. A primeira parte apresenta uma construção que permite abordar todas as geometrias clássicas sob um mesmo ponto de vista. Utilizando tal abordagem, expressamos e caracterizamos, de modo simples e isento de coordenadas, vários aspectos destas geometrias, tais como geodésicas distâncias, transporte paralelo, tensores de curvatura e curvaturas seccionais. Esperamos, assim, unificar e facilitar o estudo das geometrias clássicas, evitando a introdução de vários ?modelos? para uma mesma geometria (como é o caso dos modelos de Poincaré, de Siegel e de Klein para as geometrias hiperbólicas) bem como evitando a descrição de métricas através de sistemas de coordenadas específicos. A segunda parte consiste em aplicar as ferramentas desenvolvidas anteriormente para o caso específico da geometria hiperbólica complexa. O foco central é o estudo de configurações de um número pequeno de pontos. Deste modo estudamos propriedades básicas de objetos elementares tais como linhas projetivas, geodésicas e bissetores. Estas propriedades provaram-se essenciais com relação ao nosso principal objetivo, o estudo de grupos discretos de isometrias do plano hiperbólico complexo. A terceira parte consiste em uma versão do Teorema Poliedral de Poincaré em que as exigências sobre a tesselação são suficientemente locais. Além disso, buscamos para o referido Teorema condições simples e verificáveis na prática. A versão apresentada pode ser aplicada em geometrias de curvatura não-constante, nas quais n?ao podemos explorar, por exemplo, os conceitos de convexidade. Por fim, a quarta parte é um artigo produzido em colaboração com os professores Alexandre Ananin e Nikolai Goussevskii. Neste artigo, novos exemplos de variedades com estrutura hiperbólica complexa s?ao apresentados, resolvendo alguns problemas da área

ASSUNTO(S)

grupos discretos (matematica) geometria topologia algebra geometry algebra topology discrete groups (mathematics)

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