Controle Ãtimo de sistemas algÃbrico-diferenciais com flutuaÃÃo do Ãndice diferencial

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DATA DE PUBLICAÇÃO

2007

RESUMO

Os Problemas de Controle Ãtimo, tambÃm chamados Problemas de OtimizaÃÃo DinÃmica, sÃo formados por uma FunÃÃo Objetivo a ser maximizada ou minimizada, associada a conjuntos de equaÃÃes algÃbricas e diferenciais que incluem restriÃÃes de igualdade e de desigualdade nas variÃveis de estado e de controle que caracterizam um sistema de EquaÃÃes AlgÃbrico-Diferenciais (EADs). A extensÃo do ponto de vista algÃbricodiferencial de soluÃÃo numÃrica aos PCOs, jà amplamente utilizado na simulaÃÃo de processos devido à garantia de atendimento Ãs restriÃÃes algÃbricas originais e implÃcitas na formulaÃÃo e à eliminaÃÃo das manipulaÃÃes necessÃrias para transformar o problema original num sistema de equaÃÃes puramente diferenciais, caracteriza o chamado Problema de Controle Ãtimo AlgÃbrico-Diferencial (PCOAD). Uma categoria de PCOAD de especial interesse à a dos que incluem restriÃÃes de desigualdade, devido à necessidade de conhecimento prÃvio da seqÃÃncia de ativaÃÃes e desativaÃÃes destas restriÃÃes ao longo da trajetÃria e tambÃm dos instantes em que elas ocorrem, chamados Eventos. As ativaÃÃes/desativaÃÃes das restriÃÃes causam flutuaÃÃes no Ãndice diferencial e no nÃmero de graus de liberdade dinÃmicos do PCOAD, exigindo tÃcnicas especiais de reduÃÃo deste Ãndice atà um e o emprego de mÃtodos numÃricos eficientes que garantam a convergÃncia e estabilidade da soluÃÃo. Estes PCOADs com restriÃÃes de desigualdade sÃo equivalentes a uma classe de problemas de otimizaÃÃo dinÃmica hÃbridos, que associam comportamentos contÃnuos e discretos (FEEHERY, 1998). Um tipo particular de PCO hÃbrido à aquele cujo estado contÃnuo nÃo apresenta saltos nos Eventos, chamado PCO Chaveado, para o qual Xu e Antsaklis (2004) propÃem uma metodologia de soluÃÃo baseada na parametrizaÃÃo dos Eventos com a especificaÃÃo prÃvia da seqÃÃncia de subsistemas ativos, resultando na soluÃÃo de um problema de valor no contorno algÃbrico-diferencial em dois pontos, formado pelas equaÃÃes de estado, co-estado e de estacionariedade, condiÃÃes de contorno e de continuidade e suas diferenciaÃÃes, chamadas equaÃÃes de sensibilidade. Neste trabalho, esta abordagem indireta empregada para PCO Chaveados foi estendida para PCOAD com restriÃÃes de desigualdade, com o objetivo de estimar tambÃm os Eventos, alÃm das variÃveis de controle, de estado e adjuntas. A abordagem desenvolvida por Xu e Antsaklis (2004) para PCO Chaveados foi implementada num cÃdigo especÃfico utilizando o Maple 9.5, chamado EVENTS, com o objetivo de gerar simbolicamente as equaÃÃes baseadas na parametrizaÃÃo dos Eventos. Este cÃdigo foi incorporado a uma interface chamada OpCol, que reÃne ferramentas de caracterizaÃÃo de sistemas de EAD e de geraÃÃo das condiÃÃes de otimalidade segundo o PrincÃpio de Pontryagin estendidas para PCOAD de diferentes classes. As ferramentas de caracterizaÃÃo sÃo o INDEX de Murata (1996) que identifica simbolicamente o Ãndice, a resolubilidade e a consistÃncia das condiÃÃes iniciais e o ACIG de Cunha e Murata (1999) que implementa o algoritmo de Gear para a reduÃÃo do Ãndice e geraÃÃo do sistema equivalente de Ãndice 1. O OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) gera as equaÃÃes de Euler-Lagrange para PCOAD. Estas ferramentas foram inicialmente implementadas em diferentes versÃes do Maple e todas foram atualizadas para a versÃo 9.5 utilizando o pacote Maplets que permite a entrada de dados atravÃs de janelas interativas com o usuÃrio, exigindo dele pouco conhecimento da sintaxe Maple. A interface OpCol foi testada para quatro casos e para cada ferramenta foi criado um banco de exemplos com problemas tÃpicos da literatura que auxiliam o usuÃrio na sua utilizaÃÃo. AlÃm disto, o mÃtodo direto implementado no cÃdigo DIRCOL estendido para formulaÃÃes multifÃsicas com estimativa dos Eventos e o mÃtodo indireto com ParametrizaÃÃo dos Eventos e abordagem algÃbrico-diferencial implementado num cÃdigo MATLAB foram utilizados na soluÃÃo numÃrica de trÃs estudos de casos: um PCO chaveado e 2 PCOAD de reatores batelada onde a variÃvel de controle à a taxa de alimentaÃÃo do componente B: o primeiro tem reaÃÃes paralelas e restriÃÃes de seletividade com 3 fases de Ãndices 1, 3 e 1 e o segundo restriÃÃes de seguranÃa com 2 fases de Ãndices 2 e 1 e respectivamente e foram descritos por Srinivasan et al. (2003). A mesma metodologia utilizada por estes autores foi empregada na obtenÃÃo de expressÃes analÃticas para a variÃvel de controle em cada fase necessÃrias no mÃtodo indireto, compondo as chamadas FunÃÃes Identificadoras de Fase (FIF), a partir das condiÃÃes de otimalidade baseadas no PrincÃpio de Pontryagin - especificamente a partir da condiÃÃo de estacionariedade e da identificaÃÃo da restriÃÃo ativa que permitirà a determinaÃÃo da variÃvel de controle - e da anÃlise fÃsica do problema de modo a descartar seqÃÃncias de ativaÃÃo/desativaÃÃo nÃo apropriadas. Os resultados obtidos pelo mÃtodo indireto e pelo mÃtodo direto sÃo comparados entre si para os 3 problemas citados, mostrando a viabilidade tanto da formulaÃÃo multifÃsica empregando o DIRCOL quanto o desempenho satisfatÃrio do mÃtodo indireto com estimativa de Eventos, alÃm da utilidade das ferramentas de caracterizaÃÃo de EADs, de obtenÃÃo das condiÃÃes de otimalidade e de parametrizaÃÃo dos eventos disponibilizadas na interface Opcol.

ASSUNTO(S)

sistemas chaveados differential-algebraic equations controle de processos quÃmicos problemas de controle Ãtimo dircol switched systems sistemas hÃbridos equaÃÃes algÃbrico-diferenciais optimal control problems hybrid systems engenharia quimica

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