Uma fundamentação para sinais e sistemas intervalares

AUTOR(ES)
FONTE

IBICT - Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia

DATA DE PUBLICAÇÃO

02/12/2011

RESUMO

Neste trabalho utiliza-se a matemática intervalar para estabelecer os conceitos intervalares das principais ferramentas utilizadas em processamento digital de sinais. Mais especificamente, foram desenvolvidos aqui as abordagens intervalares para sinais, sistemas, amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier. É feito um estudo de algumas aritméticas que lidam com números complexos sujeitos à imprecisões, tais como: aritmética complexa intervalar (ou retangular), aritmética complexa circular, aritmética setorial e aritmética intervalar polar. A partir daí, investiga-se algumas propriedades que serão relevantes para o desenvolvimento e aplicação no processamento de sinais discretos intervalares. Mostra-se que nos conjuntos IR e R(C), seja qual for a aritmética correta adotada, não se tem um corpo, isto é, os elementos desses conjuntos não se comportam como os números reais ou complexos com suas aritméticas clássicas e que isso irá requerer uma avaliação matemática dos conceitos necessários à teoria de sinais e a relação desses com as aritméticas intervalares. Também tanto é introduzido o conceito de amplitude intervalar complexa, como alternativa à definição clássica quanto utiliza-se a ordem de Kulisch-Miranker para números complexos afim de que se escreva números complexos intervalares na forma de intervalos, o que torna possível as operações através dos extremos. Essa relação é utilizada em propriedades de somas de intervalos de números complexos. O uso de sinais e sistemas intervalares foi motivado pela representação intervalar num sistema de ponto flutuante abstrato. Isto é, se um número x 2 R não é representável em um sistema de ponto flutuante F, ele é mapeado para um intervalo [x;x], tal que x é o maior dos números menores que x representável em F e x é o menor dos números maiores que x representável em F. A representação intervalar é importante em processamento digital de sinais, pois a imprecisão em dados ocorre tanto no momento da medição de determinado sinal, quanto no momento de processá-los computacionalmente. A partir daí, define-se sinais e sistemas intervalares que assumem tanto valores reais quanto complexos. Para isso, utiliza-se o estudo feito a respeito das aritméticas complexas intervalares e mostram-se algumas propriedades dos sistemas intervalares, tais como: causalidade, estabilidade, invariância no tempo, homogeneidade, aditividade e linearidade. Além disso, foi definida a representação intervalar de funções complexas. Tal função estende sistemas clássicos a sistemas intervalares preservando as principais propriedades. Um conceito muito importante no processamento digital de sinais é a quantização, uma vez que a maioria dos sinais é de natureza contínua e para processá-los é necessário convertê-los em sinais discretos. Aqui, este processo é descrito detalhadamente com o uso da matemática intervalar, onde se propõem, inicialmente, uma amostragem intervalar utilizando as idéias de representação no sistema de ponto flutuante. Posteriormente, são definidos níveis de quantização intervalares e, a partir daí, é descrito o processo para se obter o sinal quantizado intervalar e são definidos o erro de quantização intervalar e o sinal codificado intervalar. É mostrado que os níveis de quantização intervalares representam os níveis de quantização clássicos e o erro de quantização intervalar representa o e erro de quantização clássico. Uma estimativa para o erro de quantização intervalar é apresentada. Utilizando a aritmética retangular e as definições e propriedades de sinais e sistemas intervalares, é introduzida a transformada Z intervalar e são analisadas as condições de convergência e as principais propriedades. Em particular, quando a variável complexa z é unitária, define-se a transformada de Fourier intervalar para sinais discretos no tempo, além de suas propriedades. Por fim, foram apresentadas as implementações dos resultados que foram feitas no software Matlab

ASSUNTO(S)

engenharia eletrica matemática intervalar sinais e sistemas intervalares amostragem intervalar quantização intervalar codificação intervalar transformada z intervalar transformada de fourier intervalar interval mathematics interval signals and systems interval sampling interval quantization interval coding interval z-transform interval fourier transform

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